Procedimiento de Cómputo de la Estabilidad en la Recuperación de Choques Estructurales

1 Introducción

Esta nota desarrolla el criterio de estabilidad en la recuperación de choques estructurales como continuidad del documento “Criteria for SVAR Model Selection: A Proposal”. La idea central es la siguiente: si un modelo SVAR es una guía empírica razonable, entonces un mismo bloque de datos debería inducir choques estructurales similares cuando estos se recuperan bajo distintas parametrizaciones del modelo.

Para estudiar esta propiedad, se particiona una muestra de datos en submuestras ordenadas y complementarias. Primero, se estima el modelo en una de ellas y se recuperan choques estructurales sobre otra. Luego, se compara esa recuperación con la que se obtiene al reestimar el modelo sobre el propio bloque evaluado. La validación consiste en medir si los choques recuperados para un mismo subconjunto de datos son consistentes cuando cambia la muestra usada para parametrizar el SVAR.

La hipótesis metodológica es que un buen modelo estructural debería mostrar, al menos, consistencia en la recuperación de choques a través de submuestras. En este marco, el error condicional no se interpreta como un fin en sí mismo, sino como un objeto intermedio que expresa, en unidades observables, la discrepancia entre recuperaciones de choques sobre un mismo bloque de datos.

El documento organiza esta idea en tres partes. Primero se describe la construcción de las particiones de muestra y la notación para los errores incondicionales y condicionales. Luego se desarrolla el cómputo operativo: estimación en la muestra de validación, recuperación de choques, construcción de pronósticos condicionales y cálculo final de errores. Finalmente se distingue entre la simetría que aparece en la escala de choques estructurales y la simetría que no necesariamente se conserva en la escala observable de errores condicionales.

2 Particiones de la Muestra

Sea \(t\) el índice temporal, con valores en la muestra completa

\[ \mathcal{T} = \{0, 1, \dots, V\}. \tag{1}\]

Para cada partición \(i\) de la muestra se selecciona una ventana \(\mathcal{W}^{(i)} \subseteq \mathcal{T}\). Dentro de esa ventana se definen tres bloques ordenados:

\[ \mathcal{W}^{(i)} = \mathcal{E}^{(i)} \cup \mathcal{G}^{(i)} \cup \mathcal{V}^{(i)}. \tag{2}\]

Los bloques son disjuntos:

\[ \mathcal{E}^{(i)} \cap \mathcal{G}^{(i)} = \mathcal{E}^{(i)} \cap \mathcal{V}^{(i)} = \mathcal{G}^{(i)} \cap \mathcal{V}^{(i)} = \varnothing. \tag{3}\]

En esta notación, \(\mathcal{E}^{(i)}\) es la submuestra usada para parametrizar el modelo, \(\mathcal{V}^{(i)}\) es la submuestra sobre la que se evalúa la validación y \(\mathcal{G}^{(i)}\) es una brecha temporal entre ambas. La brecha reduce la dependencia mecánica entre los datos usados para estimar y los datos usados para evaluar.

El ejercicio impone que \(\mathcal{E}^{(i)}\) y \(\mathcal{V}^{(i)}\) tengan el mismo tamaño y que \(\mathcal{G}^{(i)}\) tenga un tamaño fijo a través de particiones. Es decir, existen enteros \(m \ge 1\) y \(g \ge 0\) tales que

\[ \begin{aligned} |\mathcal{E}^{(i)}| &= |\mathcal{V}^{(i)}| = m, \\ |\mathcal{G}^{(i)}| &= g, \\ &\forall i. \end{aligned} \tag{4}\]

Esta restricción implica que cada ventana \(\mathcal{W}^{(i)}\) tiene tamaño fijo \(2m+g\). Por lo tanto, \(\mathcal{W}^{(i)}\) no agota necesariamente la muestra completa \(\mathcal{T}\); las distintas particiones se construyen desplazando esa ventana a lo largo del tiempo.

Además, las particiones respetan el orden temporal de la muestra. Para cada partición \(i\) existe un índice inicial \(s_i\) tal que \(0 \le s_i\) y \(s_i + 2m + g - 1 \le V\), y

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}^{(i)} &= \{s_i, s_i + 1, \dots, s_i + m - 1\}, \\ \mathcal{G}^{(i)} &= \{s_i + m, \dots, s_i + m + g - 1\}, \\ \mathcal{V}^{(i)} &= \{s_i + m + g, \dots, s_i + 2m + g - 1\}. \end{aligned} \tag{5}\]

El siguiente diagrama ilustra algunas particiones posibles para una muestra que abarca de 2005Q1 a 2025Q4, bajo una elección fija de tamaños \(|\mathcal{E}^{(i)}| = |\mathcal{V}^{(i)}| = 8\) años y \(|\mathcal{G}^{(i)}| = 1\) año.

gantt
    title Particiones posibles de la muestra 2005Q1-2025Q4
    dateFormat  YYYY-MM-DD
    axisFormat  %Y

    section Partición i = 1
    E^(1) (2005Q1-2012Q4)      :done, p1e, 2005-01-01, 8y
    G^(1) (2013Q1-2013Q4)      :crit, p1g, 2013-01-01, 1y
    V^(1) (2014Q1-2021Q4)      :active, p1v, 2014-01-01, 8y
    Resto de T (2022Q1-2025Q4) :p1r, 2022-01-01, 4y

    section Partición i = 2
    Resto de T (2005Q1-2005Q4) :p2r0, 2005-01-01, 1y
    E^(2) (2006Q1-2013Q4)      :done, p2e, 2006-01-01, 8y
    G^(2) (2014Q1-2014Q4)      :crit, p2g, 2014-01-01, 1y
    V^(2) (2015Q1-2022Q4)      :active, p2v, 2015-01-01, 8y
    Resto de T (2023Q1-2025Q4) :p2r1, 2023-01-01, 3y

    section Partición i = 3
    Resto de T (2005Q1-2006Q4) :p3r0, 2005-01-01, 2y
    E^(3) (2007Q1-2014Q4)      :done, p3e, 2007-01-01, 8y
    G^(3) (2015Q1-2015Q4)      :crit, p3g, 2015-01-01, 1y
    V^(3) (2016Q1-2023Q4)      :active, p3v, 2016-01-01, 8y
    Resto de T (2024Q1-2025Q4) :p3r1, 2024-01-01, 2y

La Ecuación 5 muestra que \(\mathcal{E}^{(i)}\) siempre precede a \(\mathcal{G}^{(i)}\) y que \(\mathcal{G}^{(i)}\) siempre precede a \(\mathcal{V}^{(i)}\). A su vez, la Ecuación 4 garantiza que las particiones comparables usan un mismo tamaño para los tres bloques, variando únicamente su posición dentro de la muestra completa.

3 Cómputo de la Desviación en la Recuperación de Choques Estructurales

3.1 Planteamiento General

Para describir el cómputo de la desviación, fijemos una partición de la muestra \(\mathcal{T}\) y escribamos \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) para dos submuestras genéricas. Esta notación evita asignar de entrada un rol fijo de estimación o validación a cada submuestra.

El cálculo requiere dos parametrizaciones del mismo SVAR:

• Una parametrización estimada en la submuestra \(\mathcal{A}\): \(\hat{A}_{0,\mathcal{A}}\), \(\hat{A}_{1,\mathcal{A}}\) y \(\hat{B}_{0,\mathcal{A}}\).
• Una parametrización estimada en la submuestra \(\mathcal{B}\): \(\hat{A}_{0,\mathcal{B}}\), \(\hat{A}_{1,\mathcal{B}}\) y \(\hat{B}_{0,\mathcal{B}}\).

Para que pueda aparecer una relación antisimétrica en la escala de choques estructurales, ambas parametrizaciones deben evaluarse sobre el mismo conjunto de observaciones. Por ello definimos el conjunto común de evaluación como

\[ \mathcal{U} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}. \tag{6}\]

La razón para trabajar sobre \(\mathcal{U}\) es que el intercambio de los roles de \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) solo produce una relación antisimétrica para la diferencia de choques si las dos direcciones se evalúan sobre las mismas fechas. Esta propiedad se desarrolla en Sección 6. Esa relación no implica, por sí sola, que los errores condicionales observables sean simétricos.

3.2 Horizonte de Pronóstico 1

El horizonte 1 es el caso base del procedimiento anterior. Se expone por separado porque es el horizonte sobre el cual se construye directamente la tupla empírica de desviaciones.

3.2.1 Pronósticos Incondicionales

El pronóstico incondicional a horizonte 1, usando la parametrización de \(\mathcal{A}\) y evaluando observaciones en \(\mathcal{U}\), parte del origen \(t\) y pronostica la observación en \(t+1\):

\[ \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}} = \hat{A}_{0,\mathcal{A}} + \hat{A}_{1,\mathcal{A}} y_t, \qquad t+1 \in \mathcal{U}. \tag{7}\]

De forma paralela, el pronóstico incondicional usando la parametrización de \(\mathcal{B}\) y evaluando observaciones en \(\mathcal{U}\) es

\[ \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}} = \hat{A}_{0,\mathcal{B}} + \hat{A}_{1,\mathcal{B}} y_t, \qquad t+1 \in \mathcal{U}. \tag{8}\]

3.2.2 Errores Incondicionales

Los errores incondicionales asociados a cada parametrización se calculan como la diferencia entre la observación realizada y el pronóstico incondicional correspondiente. Para la parametrización estimada en \(\mathcal{A}\):

\[ \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}} = y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}}, \qquad t+1 \in \mathcal{U}. \tag{9}\]

Para la parametrización estimada en \(\mathcal{B}\):

\[ \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}} = y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}}, \qquad t+1 \in \mathcal{U}. \tag{10}\]

3.2.3 Desviaciones en la Recuperación de Choques Estructurales

Los errores incondicionales permiten recuperar los choques estructurales asociados a cada parametrización. Para la parametrización en \(\mathcal{A}\):

\[ \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} = \hat{B}_{0,\mathcal{A}} \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}}, \qquad t+1 \in \mathcal{U} \tag{11}\]

Para la parametrización en \(\mathcal{B}\):

\[ \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} = \hat{B}_{0,\mathcal{B}} \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}}, \qquad t+1 \in \mathcal{U} \tag{12}\]

La desviación en la dirección \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) compara los choques recuperados bajo ambas parametrizaciones y expresa esa diferencia en unidades observables usando la matriz de impacto inversa de \(\mathcal{A}\):

\[ \begin{aligned} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}} &= \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} \right), \qquad t+1 \in \mathcal{U} \end{aligned} \tag{13}\]

En la dirección opuesta, la desviación es

\[ \begin{aligned} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} = \hat{B}_{0,\mathcal{B}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} \right), \qquad t+1 \in \mathcal{U} \end{aligned} \tag{14}\]

Por construcción, la relación antisimétrica no se afirma para \(\hat{e}_{t+1|t,c}\) en escala observable. Aparece al llevar las desviaciones a la escala de choques estructurales:

\[ \hat{B}_{0,\mathcal{B}} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} = - \hat{B}_{0,\mathcal{A}} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}}. \tag{15}\]

Estas desviaciones cuantifican cuánto cambia la recuperación de choques estructurales al parametrizar el mismo bloque de observaciones con una u otra submuestra. En escala observable, cada dirección conserva la matriz de impacto inversa de la parametrización usada como base.

3.3 Horizonte de Pronóstico Mayor a 1

Para horizontes \(h > 1\), el desarrollo parte de una última observación disponible en \(t\) y evalúa el resultado en \(t+h\). Por lo tanto, el horizonte debe ser factible dentro del conjunto común de evaluación:

\[ t+h \in \mathcal{U}. \tag{16}\]

El cómputo sigue la misma lógica del horizonte 1, pero reemplaza los pronósticos de un paso por pronósticos acumulados a \(h\) pasos. Para cada origen temporal \(t\), se generan dos pronósticos sobre la misma observación \(y_{t+h}\): uno con la parametrización de \(\mathcal{A}\) y otro con la parametrización de \(\mathcal{B}\). Al restar ambos pronósticos de la misma observación realizada se obtienen dos errores incondicionales comparables, a partir de los cuales se recuperan los choques estructurales.

El pronóstico incondicional con parametrización en \(\mathcal{A}\), para un VAR(1), se calcula como

\[ \hat{y}_{t+h|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}} = \hat{A}_{1,\mathcal{A}}^h y_t + \sum_{j=1}^{h} \hat{A}_{1,\mathcal{A}}^{j-1} \hat{A}_{0,\mathcal{A}}. \tag{17}\]

De manera análoga, el pronóstico incondicional con parametrización en \(\mathcal{B}\) es

\[ \hat{y}_{t+h|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}} = \hat{A}_{1,\mathcal{B}}^h y_t + \sum_{j=1}^{h} \hat{A}_{1,\mathcal{B}}^{j-1} \hat{A}_{0,\mathcal{B}}. \tag{18}\]

Los errores incondicionales asociados se calculan restando cada pronóstico de la misma observación realizada \(y_{t+h}\):

\[ \hat{e}_{t+h|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}} = y_{t+h} - \hat{y}_{t+h|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}}, \tag{19}\]

\[ \hat{e}_{t+h|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}} = y_{t+h} - \hat{y}_{t+h|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}}. \tag{20}\]

Los choques estructurales recuperados a horizonte \(h\) son

\[ \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} = \hat{B}_{0,\mathcal{A}} \hat{e}_{t+h|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}} \tag{21}\]

\[ \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} = \hat{B}_{0,\mathcal{B}} \hat{e}_{t+h|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}} \tag{22}\]

La desviación se obtiene comparando esos choques estructurales. En la dirección \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) se define como

\[ \begin{aligned} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}} &= \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} \right), \qquad t+h \in \mathcal{U} \end{aligned} \tag{23}\]

En la dirección opuesta,

\[ \begin{aligned} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} &= \hat{B}_{0,\mathcal{B}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} \right), \qquad t+h \in \mathcal{U} \end{aligned} \tag{24}\]

Por construcción, invertir el orden de las parametrizaciones cambia el signo de la diferencia de choques estructurales. Esto equivale a la siguiente relación en escala de choques, no a una igualdad directa entre errores condicionales observables:

\[ \hat{B}_{0,\mathcal{B}} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} = - \hat{B}_{0,\mathcal{A}} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}}. \tag{25}\]

Así, para horizontes mayores a uno, no se introduce una noción distinta de desviación. Lo único que cambia es que los choques estructurales se recuperan a partir de errores incondicionales provenientes de pronósticos acumulados a \(h\) pasos, por lo que la comparación incorpora la dinámica del modelo durante varios periodos.

4 Procedimiento Operativo

En la aplicación concreta, se toma \(\mathcal{A}=\mathcal{E}^{(i)}\) y \(\mathcal{B}=\mathcal{V}^{(i)}\) para cada partición \(i\). El conjunto común de evaluación es entonces

\[ \mathcal{U}^{(i)} = \mathcal{E}^{(i)} \cup \mathcal{V}^{(i)}. \tag{26}\]

El procedimiento operativo puede resumirse en cuatro objetos matemáticos:

1. La parametrización estimada en \(\mathcal{E}^{(i)}\): \(\hat{A}_{0,\mathcal{E}^{(i)}}\), \(\hat{A}_{1,\mathcal{E}^{(i)}}\) y \(\hat{B}_{0,\mathcal{E}^{(i)}}\).
2. La parametrización estimada en \(\mathcal{V}^{(i)}\): \(\hat{A}_{0,\mathcal{V}^{(i)}}\), \(\hat{A}_{1,\mathcal{V}^{(i)}}\) y \(\hat{B}_{0,\mathcal{V}^{(i)}}\).
3. Los choques estructurales recuperados sobre \(\mathcal{U}^{(i)}\) usando la parametrización de \(\mathcal{E}^{(i)}\).
4. Los choques estructurales recuperados sobre \(\mathcal{U}^{(i)}\) usando la parametrización de \(\mathcal{V}^{(i)}\).

El resultado final es el error condicional, definido como la diferencia entre ambos choques estructurales recuperados sobre \(\mathcal{U}^{(i)}\), expresada en unidades observables con la matriz de impacto inversa de \(\mathcal{E}^{(i)}\):

\[ \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} = \hat{B}_{0,\mathcal{E}^{(i)}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} \right) \tag{27}\]

Este error condicional es la desviación observable asociada a recuperar choques estructurales con dos parametrizaciones distintas sobre el mismo conjunto de fechas.

5 Tuplas de Desviaciones en la Recuperación de Choques

Una vez calculadas las desviaciones para cada partición, el siguiente paso es organizarlas como tuplas empíricas. La tupla no recopila directamente el error condicional observable \(\hat{e}_{c}\), sino la desviación en escala de choques estructurales asociada a ese error. Esa escala es la que permite aplicar la simetrización por cambio de signo.

Sea \(\mathcal{I}\) el conjunto de particiones consideradas. Para una partición \(i\) y un horizonte \(h\), definimos el conjunto de orígenes admisibles como

\[ \mathcal{S}_{h}^{(i)} = \left\{ t : t+h \in \mathcal{U}^{(i)} \ \text{y}\ y_t\ \text{está disponible} \right\}. \tag{28}\]

Para cada \(t \in \mathcal{S}_{h}^{(i)}\) se calcula primero el error condicional observable

\[ \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} = \hat{B}_{0,\mathcal{E}^{(i)}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} \right) \tag{29}\]

La desviación que entra en la tupla empírica se expresa en escala de choques:

\[ \hat{d}_{t+h|t,c,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} = \hat{B}_{0,\mathcal{E}^{(i)}} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} = \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} \tag{30}\]

La tupla de desviaciones a horizonte \(h\) se conforma agrupando esos objetos a través de todas las particiones:

\[ \mathcal{D}_{c,h} = \left( \hat{d}_{t+h|t,c,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} : i \in \mathcal{I},\ t \in \mathcal{S}_{h}^{(i)} \right). \tag{31}\]

Si el SVAR contiene \(K\) variables, cada elemento de \(\mathcal{D}_{c,h}\) es un vector en \(\mathbb{R}^{K}\). Cuando se requiere trabajar variable por variable, la tupla correspondiente al componente \(k\) es

\[ \mathcal{D}_{c,h,k} = \left( \hat{d}_{t+h|t,c,k,\mathcal{E}^{(i)},\mathcal{V}^{(i)},\mathcal{U}^{(i)}} : i \in \mathcal{I},\ t \in \mathcal{S}_{h}^{(i)} \right), \qquad k = 1,\dots,K. \tag{32}\]

Debido a la simetría entre los choques estructurales expuesta en Sección 6, la tupla total de desviaciones en escala de choques a horizonte \(h\), \(\tilde{\mathcal{D}}_{c,h}\), se define a partir de la tupla original \(\mathcal{D}_{c,h}\) como

\[ \tilde{\mathcal{D}}_{c,h} = \mathcal{D}_{c,h} \Vert -\mathcal{D}_{c,h}. \tag{33}\]

El operador \(\Vert\) denota concatenación. Es decir, la tupla original se extiende agregando una copia de sus elementos multiplicados por \(-1\). Esta transformación representa la simetría de la desviación en la recuperación de choques estructurales, no una simetría automática de los errores condicionales observables.

6 Justificación por Simetría entre Submuestras

Una forma de motivar la simetrización en escala de choques es estudiar qué ocurre al intercambiar los roles de las submuestras \(\mathcal{E}^{(i)}\) y \(\mathcal{V}^{(i)}\). Para evitar cargar la notación, en esta sección escribimos simplemente \(\mathcal{E}\) y \(\mathcal{V}\).

La desviación observable en la dirección \(\mathcal{E} \to \mathcal{V}\) puede expresarse como

\[ \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{E},\mathcal{V},\mathcal{V}} = \hat{B}_{0,\mathcal{E}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{E},\mathcal{V}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{V},\mathcal{V}} \right) \tag{34}\]

Como la desviación observable se construye a partir de choques estructurales recuperados bajo dos parametrizaciones, una primera conjetura sería esperar que

\[ \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{E},\mathcal{V},\mathcal{V}} \stackrel{?}{=} -\hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{V},\mathcal{E},\mathcal{E}}. \tag{35}\]

Esa conjetura no es válida tal como está escrita por dos razones. Primero, en el lado izquierdo \(t+h \in \mathcal{V}\), mientras que en el lado derecho \(t+h \in \mathcal{E}\). Dado que \(\mathcal{E} \cap \mathcal{V} = \varnothing\), ambas expresiones no se evalúan sobre las mismas observaciones. Segundo, aun si las fechas fueran las mismas, en escala observable cada dirección queda premultiplicada por una matriz de impacto inversa distinta.

La simetría que sí se obtiene aparece cuando las desviaciones se calculan sobre la unión \(\mathcal{E} \cup \mathcal{V}\) y se expresan en la escala de choques estructurales:

\[ \hat{B}_{0,\mathcal{V}} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{V},\mathcal{E},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} = - \hat{B}_{0,\mathcal{E}} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{E},\mathcal{V},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} \tag{36}\]

En efecto,

\[ \hat{B}_{0,\mathcal{E}} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{E},\mathcal{V},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} = \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{E},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{V},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} \tag{37}\]

mientras que

\[ \hat{B}_{0,\mathcal{V}} \hat{e}_{t+h|t,c,\mathcal{V},\mathcal{E},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} = \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{V},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} - \hat{w}_{t+h|t,\mathcal{E},\mathcal{E} \cup \mathcal{V}} \tag{38}\]

Por lo tanto, si la validación condicional se computa sobre \(\mathcal{E}^{(i)} \cup \mathcal{V}^{(i)}\), la tupla que puede simetrizarse de forma directa es la tupla de desviaciones en escala de choques construida en la sección anterior.

La versión simetrizada queda entonces dada por

\[ \tilde{\mathcal{D}}_{c,h} = \mathcal{D}_{c,h} \Vert -\mathcal{D}_{c,h}. \tag{39}\]

AdvertenciaAdvertencia

Aunque la simetría exista en la escala de choques estructurales, no necesariamente se conserva al trasladar esas desviaciones a la escala observable de los errores condicionales. Cada dirección puede estar asociada a una matriz de impacto inversa distinta.

Por esta razón, concatenar los errores condicionales con su negativo no genera necesariamente una distribución simétrica de errores condicionales. La simetría debe interpretarse sobre la diferencia de choques estructurales.