gantt
title Ejemplo de partición A-G-B
dateFormat YYYY-MM-DD
axisFormat %Y
section Partición
A:done, a, 2010-01-01, 5y
G:crit, g, 2015-01-01, 1y
B:active, b, 2016-01-01, 5y
Sobre la Simetría de la Distribución Empírica de los Errores Condicionales
1 Problema que Motiva la Discusión
La idea de generar una distribución simétrica de los errores condicionales parte de una dificultad en la construcción del MSE conjunto.
Si los errores condicionales tienen una esperanza condicional distinta de cero dado el error incondicional, el término cruzado puede generar una compensación artificial.
La definición previa partía de un error conjunto dado por
\[ e_{t+1|t,j} = e_{t+1|t,u} + e_{t+1|t,c} \tag{1}\]
Por definición, el MSE conjunto es el valor esperado del cuadrado elemento a elemento del error conjunto:
\[ MSE_{\odot,j} = \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,j}^{\odot 2} \right] \tag{2}\]
Sustituyendo la Ecuación 1:
\[ MSE_{\odot,j} = \mathbb{E}\left[ \left( e_{t+1|t,u} + e_{t+1|t,c} \right)^{\odot 2} \right] \tag{3}\]
Al expandir el cuadrado elemento a elemento se obtiene
\[ MSE_{\odot,j} = \underbrace{ \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,u}^{\odot 2} \right] + \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,c}^{\odot 2} \right] }_{A} + \underbrace{ 2 \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,u} \odot \underbrace{ \mathbb{E} \left[ e_{t+1|t,c} \mid e_{t+1|t,u} \right] }_{C} \right] }_{B} \tag{4}\]
El bloque \(A\) representa el MSE combinado del error incondicional y del error condicional. Es la suma de las contribuciones cuadráticas de ambas fuentes de error.
El bloque \(B\) es el término cruzado. Este término captura cómo interactúan el error incondicional y el error condicional dentro del MSE conjunto.
Dentro de ese bloque, \(C\) representa la esperanza condicional del error condicional dado el error incondicional. En la práctica, este objeto corresponde al sesgo de la distribución de errores condicionales que antes se aproximaba mediante promedios empíricos.
AdvertenciaProblema de compensación
Debido a la forma en que se computaba la distribución empírica de los errores condicionales, el término \(C\) no tenía por qué ser cero. Por lo tanto, el término cruzado \(B\) tampoco tenía por qué anularse.
Más aún, \(B\) podía tomar signo negativo y compensar parte del bloque \(A\). Esa compensación no refleja necesariamente una menor incertidumbre en la recuperación de choques; puede reflejar un sesgo en la distribución de errores condicionales.
La pregunta metodológica es entonces si tiene sentido que la distribución de errores condicionales tenga un sesgo propio, representado por \(C\). Si el signo del error condicional depende del orden en que se comparan las submuestras, entonces ese sesgo puede ser una consecuencia de haber elegido una dirección particular para construir la distribución.
2 Partición de la Muestra
Sea \(\mathcal{T}\) la muestra completa de índices temporales,
\[ \mathcal{T} = \{1, \dots, t, \dots, T\} \tag{5}\]
Consideramos una partición simple de \(\mathcal{T}\) en tres bloques ordenados:
\[ \mathcal{T} = \mathcal{A} \cup \mathcal{G} \cup \mathcal{B} \tag{6}\]
En esta partición:
- \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) son dos submuestras de \(\mathcal{T}\).
- \(\mathcal{A}\) es una primera submuestra usada para parametrizar el modelo.
- \(\mathcal{B}\) es una segunda submuestra usada para construir la comparación.
- \(\mathcal{G}\) es una brecha temporal entre ambas submuestras.
Los tres bloques no se traslapan:
\[ \mathcal{A} \cap \mathcal{G} = \mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \mathcal{G} \cap \mathcal{B} = \varnothing \tag{7}\]
Además, respetan el orden temporal de la muestra. Todo índice en \(\mathcal{A}\) ocurre antes que cualquier índice en \(\mathcal{G}\), y todo índice en \(\mathcal{G}\) ocurre antes que cualquier índice en \(\mathcal{B}\):
\[ a < g < b, \qquad a \in \mathcal{A},\ g \in \mathcal{G},\ b \in \mathcal{B} \tag{8}\]
NotaPapel del gap
La brecha \(\mathcal{G}\) separa temporalmente a \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\). Su función es reducir la dependencia mecánica entre los bloques comparados.
Un ejemplo de una partición es:
La brecha \(\mathcal{G}\) ordena la partición, pero no forma parte del conjunto de fechas donde se calculan las desviaciones.
3 Cómputo del Error Condicional
Para mostrar la mecánica del cómputo, tomemos el caso en que el modelo base se parametriza con la submuestra \(\mathcal{A}\) y los errores se computan sobre la submuestra \(\mathcal{B}\).
Para cada fecha \(t+1 \in \mathcal{B}\), el error incondicional asociado a la parametrización en \(\mathcal{A}\) se define como
\[ \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} = y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} \tag{9}\]
La parametrización en \(\mathcal{A}\) también tiene asociada una matriz \(\hat{B}_{0,\mathcal{A}}\), que permite recuperar los choques estructurales a partir de los errores incondicionales:
\[ \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{B}} = \hat{B}_{0,\mathcal{A}} \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} \tag{10}\]
De forma análoga, el error incondicional asociado a la parametrización en \(\mathcal{B}\), calculado sobre ese mismo bloque de fechas, es
\[ \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} = y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \tag{11}\]
El choque estructural asociado a ese error se define como
\[ \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}} = \hat{B}_{0,\mathcal{B}} \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \tag{12}\]
Este choque se recupera dentro de muestra: el modelo se parametriza con \(\mathcal{B}\) y el error se evalúa sobre observaciones que también pertenecen a \(\mathcal{B}\).
La construcción del pronóstico condicional toma como punto de partida el pronóstico incondicional parametrizado en \(\mathcal{A}\) y lo ajusta con el choque estructural obtenido al parametrizar en \(\mathcal{B}\):
\[ \hat{y}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} = \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} + \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}} \tag{13}\]
Es decir, el pronóstico condicional ajusta el pronóstico incondicional parametrizado en \(\mathcal{A}\) con el choque estructural obtenido al parametrizar en \(\mathcal{B}\). Nótese que el impacto del choque modifica el pronóstico incondicional a través del producto \(\hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1}\hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}}\); por eso el choque recuperado con \(\mathcal{B}\) se expresa en unidades observables usando la matriz de impacto inversa parametrizada en \(\mathcal{A}\).
Siguiendo la definición del documento “Criteria for SVAR Model Selection: A Proposal”, el error condicional es la diferencia entre la observación realizada y el pronóstico condicional. Sustituyendo la Ecuación 13:
\[ \begin{aligned} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} &= y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} \\ &= y_{t+1} - \left( \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} + \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}} \right) \\ &= \left( y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} \right) - \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}} \\ &= \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{B}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}} \right) \end{aligned} \tag{14}\]
El error condicional se computa, entonces, como la diferencia entre el choque recuperado al parametrizar en \(\mathcal{A}\) y el choque recuperado dentro de \(\mathcal{B}\), expresada en unidades observables mediante la matriz \(\hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1}\):
\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} = \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{B}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}} \right) \qquad t+1 \in \mathcal{B} \tag{15}\]
La lectura de los subíndices en \(\hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}}\) es:
- \(t+1|t\) indica que el error se evalúa en \(t+1\) usando información disponible hasta \(t\).
- \(c\) indica que se trata de un error condicional.
- \(\mathcal{A}\) identifica la submuestra usada para parametrizar el pronóstico base.
- \(\mathcal{B}\) identifica la submuestra donde se calculan los errores.
En los errores incondicionales \(\hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}}\) y \(\hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}}\), el subíndice \(u\) indica que no se ha aplicado el ajuste condicional. El primer subíndice de muestra indica dónde se parametriza el modelo, y el segundo indica dónde se calculan los errores.
En los choques estructurales \(\hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{B}}\) y \(\hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{B}}\), el primer subíndice de muestra indica qué matriz \(\hat{B}_0\) se usa para recuperar el choque, y el segundo indica el bloque de fechas sobre el que se realiza la recuperación.
4 Sobre la Simetría
4.1 Por Qué No Basta Evaluar en una Sola Submuestra
Supongamos que se quiere comparar dos submuestras, \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\), con \(\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \varnothing\).
Una primera estrategia podría ser:
- Parametrizar el modelo con \(\mathcal{A}\) y calcular errores condicionales únicamente en \(\mathcal{B}\).
- Parametrizar el modelo con \(\mathcal{B}\) y calcular errores condicionales únicamente en \(\mathcal{A}\).
AdvertenciaProblema
Estas dos comparaciones no usan el mismo conjunto de fechas. Por construcción, los pronósticos y los errores del primer caso pertenecen a \(\mathcal{B}\), mientras que los del segundo pertenecen a \(\mathcal{A}\).
En el primer caso, los errores condicionales se calculan para fechas en \(\mathcal{B}\):
\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{B}}, \qquad t+1 \in \mathcal{B} \tag{16}\]
En el segundo caso, los errores condicionales se calculan para fechas en \(\mathcal{A}\):
\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{A}}, \qquad t+1 \in \mathcal{A} \tag{17}\]
Como \(\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \varnothing\), las dos expresiones no se evalúan sobre las mismas observaciones ni sobre los mismos pronósticos. La primera expresión compara errores generados para fechas en \(\mathcal{B}\); la segunda compara errores generados para fechas en \(\mathcal{A}\). Dadas las definiciones de la partición, esos conjuntos no se traslapan.
Por lo tanto, no es posible imponer la igualdad
\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{A}} = - \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{B}} \tag{18}\]
La igualdad falla porque no solo se cambia la parametrización. También se cambia el bloque de fechas al que pertenecen los pronósticos y sobre el que se calculan los errores condicionales.
4.2 Conjunto Común de Evaluación
Para aislar el efecto de la parametrización, definimos el conjunto común de evaluación como
\[ \mathcal{U} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \tag{19}\]
La Ecuación 19 reúne las fechas de \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\), pero mantiene fuera la brecha \(\mathcal{G}\).
NotaQué cambia y qué queda fijo
- Cambia: la parametrización usada para pronosticar.
- Queda fijo: el conjunto de observaciones evaluadas.
- Evaluamos siempre sobre: \(\mathcal{U}\).
4.3 Simetría de la Desviación
NotaMensaje central
La simetría relevante es esta: se comparan los choques estructurales recuperados en \(\mathcal{U}\) cuando el modelo se parametriza con \(\mathcal{A}\) contra los choques recuperados en \(\mathcal{U}\) cuando el modelo se parametriza con \(\mathcal{B}\). Al invertir el orden de la comparación, la diferencia de choques estructurales debe cambiar de signo.
Cuando el modelo se parametriza con \(\mathcal{A}\) y se compara contra la parametrización en \(\mathcal{B}\), la desviación es
\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}} = \hat{B}_{0,\mathcal{A}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} \right) \tag{20}\]
Si el modelo se parametriza con \(\mathcal{B}\) y se compara contra la parametrización en \(\mathcal{A}\), la desviación es
\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} = \hat{B}_{0,\mathcal{B}}^{-1} \left( \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} \right) \tag{21}\]
Usando la Ecuación 20 y la Ecuación 21, y llevando cada desviación a la escala de choques estructurales, se obtiene
\[ \hat{B}_{0,\mathcal{B}} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} = - \hat{B}_{0,\mathcal{A}} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}} \tag{22}\]
La Ecuación 22 descansa en la siguiente identidad algebraica:
\[ \begin{aligned} \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} &= - \left( \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{B},\mathcal{U}} - \hat{w}_{t+1|t,\mathcal{A},\mathcal{U}} \right) \end{aligned} \tag{23}\]
ImportanteConclusión
La simetría se interpreta en la escala de los choques estructurales. En la escala observable del error condicional, la matriz de impacto inversa que acompaña a cada parametrización también forma parte de la comparación.