Sobre la Simetría de la Distribución Empírica de los Errores Condicionales

1 Problema que Motiva la Discusión

La idea de generar una distribución simétrica de los errores condicionales parte de una dificultad en la construcción del MSE conjunto.

Si los errores condicionales tienen una esperanza condicional distinta de cero dado el error incondicional, el término cruzado puede generar una compensación artificial.

La definición previa partía de un error conjunto dado por

\[ e_{t+1|t,j} = e_{t+1|t,u} + e_{t+1|t,c} \tag{1}\]

Por definición, el MSE conjunto es el valor esperado del cuadrado elemento a elemento del error conjunto:

\[ MSE_{\odot,j} = \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,j}^{\odot 2} \right] \tag{2}\]

Sustituyendo la Ecuación 1:

\[ MSE_{\odot,j} = \mathbb{E}\left[ \left( e_{t+1|t,u} + e_{t+1|t,c} \right)^{\odot 2} \right] \tag{3}\]

Al expandir el cuadrado elemento a elemento se obtiene

\[ MSE_{\odot,j} = \underbrace{ \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,u}^{\odot 2} \right] + \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,c}^{\odot 2} \right] }_{A} + \underbrace{ 2 \mathbb{E}\left[ e_{t+1|t,u} \odot \underbrace{ \mathbb{E} \left[ e_{t+1|t,c} \mid e_{t+1|t,u} \right] }_{C} \right] }_{B} \tag{4}\]

El bloque \(A\) representa el MSE combinado del error incondicional y del error condicional. Es la suma de las contribuciones cuadráticas de ambas fuentes de error.

El bloque \(B\) es el término cruzado. Este término captura cómo interactúan el error incondicional y el error condicional dentro del MSE conjunto.

Dentro de ese bloque, \(C\) representa la esperanza condicional del error condicional dado el error incondicional. En la práctica, este objeto corresponde al sesgo de la distribución de errores condicionales que antes se aproximaba mediante promedios empíricos.

AdvertenciaProblema de compensación

Debido a la forma en que se computaba la distribución empírica de los errores condicionales, el término \(C\) no tenía por qué ser cero. Por lo tanto, el término cruzado \(B\) tampoco tenía por qué anularse.

Más aún, \(B\) podía tomar signo negativo y compensar parte del bloque \(A\). Esa compensación no refleja necesariamente una menor incertidumbre en la recuperación de choques; puede reflejar un sesgo en la distribución de errores condicionales.

La pregunta metodológica es entonces si tiene sentido que la distribución de errores condicionales tenga un sesgo propio, representado por \(C\). Si el signo del error condicional depende del orden en que se comparan las submuestras, entonces ese sesgo puede ser una consecuencia de haber elegido una dirección particular para construir la distribución.

2 Partición de la Muestra

Sea \(\mathcal{T}\) la muestra completa de índices temporales,

\[ \mathcal{T} = \{1, \dots, t, \dots, T\} \tag{5}\]

Consideramos una partición simple de \(\mathcal{T}\) en tres bloques ordenados:

\[ \mathcal{T} = \mathcal{A} \cup \mathcal{G} \cup \mathcal{B} \tag{6}\]

En esta partición:

• \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) son dos submuestras de \(\mathcal{T}\).
• \(\mathcal{A}\) es una primera submuestra usada para parametrizar el modelo.
• \(\mathcal{B}\) es una segunda submuestra usada para construir la comparación.
• \(\mathcal{G}\) es una brecha temporal entre ambas submuestras.

Los tres bloques no se traslapan:

\[ \mathcal{A} \cap \mathcal{G} = \mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \mathcal{G} \cap \mathcal{B} = \varnothing \tag{7}\]

Además, respetan el orden temporal de la muestra. Todo índice en \(\mathcal{A}\) ocurre antes que cualquier índice en \(\mathcal{G}\), y todo índice en \(\mathcal{G}\) ocurre antes que cualquier índice en \(\mathcal{B}\):

\[ a < g < b, \qquad a \in \mathcal{A},\ g \in \mathcal{G},\ b \in \mathcal{B} \tag{8}\]

NotaPapel del gap

La brecha \(\mathcal{G}\) separa temporalmente a \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\). Su función es reducir la dependencia mecánica entre los bloques comparados.

Un ejemplo de una partición es:

gantt
    title Ejemplo de partición A-G-B
    dateFormat  YYYY-MM-DD
    axisFormat  %Y

    section Partición
    A:done, a, 2010-01-01, 5y
    G:crit, g, 2015-01-01, 1y
    B:active, b, 2016-01-01, 5y

La brecha \(\mathcal{G}\) ordena la partición, pero no forma parte del conjunto de fechas donde se calculan las desviaciones.

3 Cómputo del Error Condicional

Para mostrar la mecánica del cómputo, tomemos el caso en que el modelo base se parametriza con la submuestra \(\mathcal{A}\) y los errores se computan sobre la submuestra \(\mathcal{B}\).

Para cada fecha \(t+1 \in \mathcal{B}\), el error incondicional asociado a la parametrización en \(\mathcal{A}\) se define como

\[ \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} = y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} \tag{9}\]

El error incondicional asociado a la parametrización en \(\mathcal{B}\), calculado sobre ese mismo bloque de fechas, es

\[ \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} = y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \tag{10}\]

Este es un error dentro de muestra: el modelo se parametriza con \(\mathcal{B}\) y el error se evalúa sobre observaciones que también pertenecen a \(\mathcal{B}\).

La construcción condicional toma como punto de partida el pronóstico incondicional parametrizado en \(\mathcal{A}\) y lo ajusta con el error incondicional obtenido al parametrizar en \(\mathcal{B}\):

\[ \hat{y}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} = \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} + \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \tag{11}\]

Siguiendo la definición del documento “Criteria for SVAR Model Selection: A Proposal”, el error condicional es la diferencia entre la observación realizada y el pronóstico condicional. Sustituyendo la Ecuación 11:

\[ \begin{aligned} \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} &= y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} \\ &= y_{t+1} - \left( \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} + \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \right) \\ &= \left( y_{t+1} - \hat{y}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} \right) - \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \\ &= \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} - \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \end{aligned} \tag{12}\]

Por lo tanto, el error condicional se computa como la diferencia entre dos errores incondicionales evaluados sobre el mismo conjunto de fechas:

\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}} = \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}} - \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}} \qquad t+1 \in \mathcal{B} \tag{13}\]

La lectura de los subíndices en \(\hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B}}\) es:

• \(t+1|t\) indica que el error se evalúa en \(t+1\) usando información disponible hasta \(t\).
• \(c\) indica que se trata de un error condicional.
• \(\mathcal{A}\) identifica la submuestra usada para parametrizar el pronóstico base.
• \(\mathcal{B}\) identifica la submuestra donde se calculan los errores.

En los errores incondicionales \(\hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{B}}\) y \(\hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{B}}\), el subíndice \(u\) indica que no se ha aplicado el ajuste condicional. El primer subíndice de muestra indica dónde se parametriza el modelo, y el segundo indica dónde se calculan los errores.

4 Sobre la Simetría

En este documento, la simetría no es un supuesto adicional sobre el modelo. Es una propiedad algebraica de cómo se define la desviación entre dos parametrizaciones cuando ambas se evalúan sobre el mismo conjunto de fechas.

4.1 Por Qué No Basta Evaluar en una Sola Submuestra

Supongamos que se quiere comparar dos submuestras, \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\), con \(\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \varnothing\).

Una primera estrategia podría ser:

1. Parametrizar el modelo con \(\mathcal{A}\) y calcular errores condicionales únicamente en \(\mathcal{B}\).
2. Parametrizar el modelo con \(\mathcal{B}\) y calcular errores condicionales únicamente en \(\mathcal{A}\).

AdvertenciaProblema

Estas dos comparaciones no usan el mismo conjunto de fechas. Por construcción, los pronósticos y los errores del primer caso pertenecen a \(\mathcal{B}\), mientras que los del segundo pertenecen a \(\mathcal{A}\).

En el primer caso, los errores condicionales se calculan para fechas en \(\mathcal{B}\):

\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{B}}, \qquad t+1 \in \mathcal{B} \tag{14}\]

En el segundo caso, los errores condicionales se calculan para fechas en \(\mathcal{A}\):

\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{A}}, \qquad t+1 \in \mathcal{A} \tag{15}\]

Como \(\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \varnothing\), las dos expresiones no se evalúan sobre las mismas observaciones ni sobre los mismos pronósticos. La primera expresión compara errores generados para fechas en \(\mathcal{B}\); la segunda compara errores generados para fechas en \(\mathcal{A}\). Dadas las definiciones de la partición, esos conjuntos no se traslapan.

Por lo tanto, no es posible imponer la igualdad

\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{A}} = - \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{B}} \tag{16}\]

La igualdad falla porque no solo se cambia la parametrización. También se cambia el bloque de fechas al que pertenecen los pronósticos y sobre el que se calculan los errores condicionales.

4.2 Conjunto Común de Evaluación

Para aislar el efecto de la parametrización, definimos el conjunto común de evaluación como

\[ \mathcal{U} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \tag{17}\]

La Ecuación 17 reúne las fechas de \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\), pero mantiene fuera la brecha \(\mathcal{G}\).

NotaQué cambia y qué queda fijo

• Cambia: la parametrización usada para pronosticar.
• Queda fijo: el conjunto de observaciones evaluadas.
• Evaluamos siempre sobre: \(\mathcal{U}\).

4.3 Simetría de la Desviación

NotaMensaje central

La simetría relevante es esta: se comparan los choques estructurales recuperados en \(\mathcal{U}\) cuando el modelo se parametriza con \(\mathcal{A}\) contra los choques recuperados en \(\mathcal{U}\) cuando el modelo se parametriza con \(\mathcal{B}\). Al invertir el orden de la comparación, la desviación debe conservar su magnitud y cambiar solo de signo.

Cuando el modelo se parametriza con \(\mathcal{A}\) y se compara contra la parametrización en \(\mathcal{B}\), la desviación es

\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}} = \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}} - \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}} \tag{18}\]

Si el modelo se parametriza con \(\mathcal{B}\) y se compara contra la parametrización en \(\mathcal{A}\), la desviación es

\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} = \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{B},\mathcal{U}} - \hat{e}_{t+1|t,u,\mathcal{A},\mathcal{U}} \tag{19}\]

Al comparar ambas expresiones:

\[ \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{B},\mathcal{A},\mathcal{U}} = - \hat{e}_{t+1|t,c,\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{U}} \tag{20}\]

ImportanteConclusión

Invertir el orden de las submuestras cambia el signo de la desviación, pero no su magnitud.

Esta propiedad no requiere que las parametrizaciones sean iguales. Tampoco requiere que los errores sean pequeños. Requiere únicamente que ambas direcciones se calculen sobre el mismo conjunto de evaluación.